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Neutrini, confermata l'oscillazione da muonici a elettronici

Neutrini, confermata l'oscillazione da muonici a elettronici L'oscillazione del neutrino dal sapore muonico a quello elettronico è stata dimostrata in modo definitivo dall'esperimento T2K, in Giappone, a cui collaborano ricercatori italiani dell'Istituto nazionale di fisica nucleare. La scoperta conferma un risultato preliminare ottenuto nel 2011 dallo stesso esperimento e permette di approfondire sempre più la conoscenza della fisica del neutrino, aprendo la strada a nuove ipotesi sulla prevalenza della materia sull’antimateria nei primi istanti del big bang

Il neutrino, la più elusiva della particelle, ha sempre meno segreti. La collaborazione internazionale T2K, che vede una significativa partecipazione di ricercatori italiani dell'Istituto nazionale di fisica nucleare (INFN), ha dimostrato in modo definitivo un'oscillazione di questa particella tra due suoi cosiddetti "sapori", muonico ed elettronico, ipotizzata dalla teoria, ma che ancora mancava all'appello dei dati sperimentali. Come reso pubblico oggi alla conferenza della “European Physical Society” a Stoccolma, T2K ha rilevato in modo definitivo, grazie al rivelatore Super-Kamiokande, l'oscillazione da neutrino muonico a neutrino elettronico, confermando un risultato preliminare ottenuto dalla stessa collaborazione nel 2011.

Grazie a una quantità di dati 3,5 volte maggiore, questa volta è stata raggiunta una significatività statistica di 7,5 sigma (contro le 2,5 di due anni fa). Ciò significa che l’evento osservato ha una probabilità di essere stato prodotto da una fluttuazione casuale pari a un caso su 1000 miliardi.

Il neutrino è una particella che può avere tre differenti identità o “sapori”, chiamati muonico, tauonico ed elettronico, e può passare da un sapore a un altro durante la sua propagazione, secondo un processo, denominato “oscillazione” previsto dal fisico italiano Bruno Pontecorvo nel 1957. Gli effetti di questo fenomeno sono stati osservati per la prima volta negli anni sessanta, grazie all'esperimento Homestake di Ray Davis, in cui si rilevò un deficit di neutrini elettronici prodotti dal Sole. Questa fu una prima conferma che i neutrini potevano cambiare sapore durante il tragitto verso la Terra.

Neutrini, confermata l'oscillazione da muonici a elettronici

 

l rilevatore Super-Kamiokande, all'interno delle miniere di Kamioka in Giappone, lo stesso utilizzato dall'esperimento T2K per quest'ultimo risultato.  Allora fu possibile osservare un cambiamento di sapore da muonico a tauonico nei neutrini prodotti dai raggi cosmici nell'atmosfera terrestre. Nel 2010, infine, con il rivelatore OPERA, ai Laboratori nazionali del Gran Sasso dell'INFN, è stata rilevata per la prima volta lo stesso tipo di oscillazione, da muonico a tauonico, in un fascio di neutrini prodotti artificialmente con gli acceleratori di particelle del CERN di Ginevra, nell'esperimento CERN Neutrinos to Gran Sasso (CNGS).


La collaborazione T2K ha come oggetto di studio un diverso tipo di oscillazione: da neutrini muonici a neutrini elettronici, in un fascio prodotto nell'acceleratore giapponese JPARC e intercettati da Super-Kamiokande, a 295 chilometri di distanza. In pratica uno schema simile a quello di CNGS. L'analisi dei dati ha mostrato che il numero di neutrini elettronici all'interno del fascio era maggiore di quelli previsti: 28 contro 4,6, un eccesso che viene interpretato come un segno dell'avvenuta oscillazione.

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L’AREA DEL LAGO

MATEMATTITre terreni di forma quadrata si affacciano su un lago triangolare;

l’area dei tre terreni è di 74, 116 e 370 ettari. Qual è l’area del lago?

«I giovani dovrebbero dimostrare i teoremi, i vecchi dovrebbero scrivere i libri. Nessun matematico pu permettersi di dimenticare che la matematica, più di qualsiasi altra arte o di qualsiasi altra scienza, è un'attività per giovani.».
Godfrey H. Hardy

 

 

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TIRO AL BERSAGLIO

MATEMATTI

Qual è il numero minimo di tiri necessario per totalizzare esattamente cento punti su questo bersaglio?
Quanti altri modi esistono per ottenere esattamente cento punti?

bersaglio

 

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IL CUBO TAGLIATO

MATEMATTI

E’ possibile tagliare un cubo con un piano, e ottenere come sezione un triangolo equilatero?
E un esagono regolare?
E un pentagono regolare?
In quanti modi è possibile?

cubo

«Se il triangolo potesse parlare, direbbe che Dio è triangolare»

Baruch Spinoza

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LA FORMICA SULLA CORDA

MATEMATTI

Una formica si trova all’estremità di una corda elastica lunga 1 Km.

La formica cammina lungo la corda con una velocità costante di 1 cm/s; dopo il primo secondo la corda si allunga come un elastico e raggiunge la lunghezza di 2 Km, dopo il secondo successivo è lunga 3 Km e così via.

Riuscirà mai la formica a raggiungere l’altra estremità della corda?

 

 

formica

 

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4° quesito di matematica: LA STRANA ARITMETICA

MATEMATTI

I   MATEMATTI

 La seguente affermazione è assolutamente corretta:

202 x 26 = 5555

Come è possibile?

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3° quesito di matematica: LA MACCHINA E I TRE CIPPI

MATEMATTII   MATEMATTI 

Una macchina passa davanti a un cippo che  porta il numero di chilometri AB. Un’ora dopo passa davanti al cippo che porta il numero BA e, ancora un’ora più tardi, davanti a quello che porta il numero A0B (A zero B).
Quali sono i numeri riportati nei tre cippi e qual è la velocità della macchina?

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2° quesito di matematica: AREA DI UNA CORONA CIRCOLARE

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I    MATEMATTI 

La corda tangente alla circonferenza interna di una corona circolare è lunga 10 cm.

Quanto vale l’area della corona?

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E se in una sfera viene fatto un foro cilindrico lungo 10 cm il cui asse passa per il centro, qual è il volume rimanente della sfera?

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Le curve celebri: introduzione

Le piramidi di Giza

La storia della matematica inizia quasi contemporaneamente con la storia dell´uomo. Ad esempio la costruzione delle grandi piramidi, nell´antico Egitto, nel 2800 a.C., dimostra una buona conoscenza della matematica da parte della civiltà sbocciata sulle rive del Nilo; un'altra testimonianza di ciò è il papiro di Rhind (il cui contenuto dovrebbe risalire al 2000 a.C.) in cui sono esposti 80 problemi di carattere aritmetico e geometrico. Nella civiltà babilonese si trovano tracce di significativi contributi all´aritmetica, all´algebra e alla geometria. Le antiche civiltà della Cina e dell´India svilupparono anch'esse contributi all´aritmetica pur raggiungendo uno stadio inferiore rispetto ad egizi e babilonesi.

 

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LE CURVE NELL´ANTICA GRECIA

Archimede

Ma è dal 600 a.C., con la civiltà greca, che inizia un periodo glorioso per la scienza (ed in particolare per la matematica), non solo per la grandissima concentrazione di illustri pensatori, ma soprattutto per la nascita di un nuovo metodo di approccio alla matematica: non più solo empirico-induttivo, che sfruttava le osservazioni ripetute per fondare regole, ma deduttivo che, partendo da assiomi, usa rigorosi ragionamenti per dimostrare teoremi. È in questo contesto che la geometria acquisì un ruolo centrale e vide una notevole espansione, soprattutto nella cosiddetta età alessandrina, che va dal 350 a.C. fino al 200 a.C. circa in cui vissero alcuni  fra i matematici più importanti della storia:  Euclide, Menecmo, Apollonio e il grande Archimede. In questo periodo nascono le prime curve celebri usate anche come strumenti fondamentali per risolvere i tre problemi classici dell´antichità: la quadratura del cerchio, la trisezione dell´angolo e la duplicazione del cubo o problema di Delo.

Le curve celebri inventate per risolvere tali problemi furono: la Quadratrice di Dinostrato - Trisettrice di Ippia  e la  Cissoide di Diocle.

- Le CONICHE

Certamente le curve antiche più famose e studiate nelle scuole superiori sono le coniche.

Il più antico autore di cui abbiamo traccia, che abbia trattato delle coniche è Menecmo, matematico greco del IV secolo a.C., maestro del grande condottiero Alessandro Magno. Esse furono utilizzate nel tentativo di risolvere uno dei tre famosi problemi dell´antichità: la duplicazione del cubo,  detto anche "il problema di Delo".

Menecmo descrisse le coniche come intersezione di un cono circolare retto, con angolo al vertice  variabile ed un piano fisso  perpendicolare alla direttrice  del cono; a seconda che sia abbia:

 oppure 

si otterrà rispettivamente un´ellisse, una parabola o un´iperbole.

Successivamente Apollonio, il Grande Geometra, vissuto a cavallo tra il III e il II secolo a.C., scrisse un trattato dal titolo proprio "Le Coniche". Apollonio ottenne le curve come intersezione di un cono fisso e un piano secante ad inclinazione diverse. Fu Apollonio ad attribuire alle curve il loro nome i quali derivano dal confronto fra due proprietà caratteristiche di ciascuna curva:

ellisse significa "difetto", "mancanza di"; parabola "uguaglianza"; iperbole "eccesso".
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LE CURVE NELL´ERA MODERNA

Durante il medioevo, testi di geometria greca e islamica furono tradotti dall´arabo al latino. Il metodo rigoroso di Euclide venne riletto e nuove importanti scoperte seguirono quelle fatte dagli antichi greci. Tre furono i principali sviluppi in campo geometrico: la geometria analitica (Cartesio), la geometria proiettiva (Desargues)  e il calcolo infinitesimale (Newton e Leibniz). Infine un fatto molto importante che permise la nascita di  nuove curve fu la scoperta delle funzioni iperboliche da parte di un altro grandissimo matematico Leohnard Euler verso la metà del XVIII secolo.

Approfondisci

- In ordine di tempo la geometria analitica fu la prima ad essere ideata dal grande Cartesio e la sua creazione si fa risalire al 1628 quando in una lettera ad un suo amico formula una regola per la costruzione delle radici di qualsiasi equazione di terzo o quarto grado mediante una parabola. Lo scopo di Cartesio era quello di una costruzione geometrica, e non necessariamente la riduzione della geometria all´algebra: si potrebbe caratterizzare l´opera di Cartesio come la traduzione di operazioni algebriche nel linguaggio della geometria. La novità per le curve era che ora esse potevano essere descritte in termini algebrici, senza conoscere esplicitamente la loro forma. Grazie a Cartesio si ha la prima distinzione tra curve algebriche e curve trascendenti (che egli distinse in geometriche e meccaniche). Importante fu anche il contributo di Fermat, che propose un´esposizione molto più sistematica e didattica rispetto a quella di Cartesio. Egli fu il primo ad introdurre ordinate ortogonali rispetto alla retta delle ascisse.

- Quasi contemporaneamente, il francese Desargues, pose le basi per la geometria proiettiva, rivistando testi di Apollonio (Le Coniche) e Pappo. La sua idea era molto semplice ed era ricavata dalla prospettiva degli artisti del Rinascimento e dai principi di continuità di Keplero. Egli studiò quali proprietà rimanevano immutate quando il punto di vista cambiava: fu così che scoprì che le coniche rappresentavano un´unica famiglia compatta. La geometria proiettiva aveva notevoli vantaggi rispetto a quella analitica: casi particolari di teoremi si fondevano in una trattazione generale. Tuttavia le sue idee sembrarono troppo innovative e i matematici di allora si dimostrarono avversi.

- Più tardi, verso la fine del XVII secolo, grazie a Leibniz e Newton, nacque il calcolo infinitesimale, che presto avrebbe portato alla nascita dell´analisi. Già Fermat, Cartesio ed Huygens avevano intuito qualcosa, ma solo con Leibniz e Newton giunsero ad una vera completa trattazione. Pur non essendo una parte della geometria stessa, il calcolo infinitesimale ha notevoli applicazioni alla geometria. Con essa infatti si giunge finalmente alla soluzione principalmente di due problemi considerati fino ad allora intrattabili: il primo fu quello di trovare le tangenti a qualsiasi tipo di curva (prima era possibile solo per particolari tipi); il secondo è quello di trovare l'area compresa fra due curve.

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CICLOIDE: la bella Elena della geometria

"Quella curva arcuata ... sono più di 50 anni che mi venne in mete di descriverla, e l'ammirai per una curvità graziosissima per adattarla agli archi di un ponte." (Galileo Galilei 1640)

In geometria, la cicloide (dal greco kykloeidéskýklos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è una curva piana tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola senza strisciare lungo una retta. Appartiene alla categoria delle roulette (curve che rotolano su altre curve).

Guarda la CICLOIDE con Geogebra

Cicloide

Una cicloide dal vivo!

Cicloide alla 24 ore di Roma

La cicloide fu studiata per la prima volta da Nicola Cusano e ricevette il suo nome nel 1599 da Galileo. Si dedicarono allo studio di questa curva anche Torricelli, Fermat, Cartesio, Huygens, Bernoulli e Isaac Newton.

STORIA della CICLOIDE

La storia della curva cicloide non é facile da riassumere in poche righe. La sua scoperta risalirebbe all'inizio del XVII secolo, secondo quanto afferma Carlo Dati nella Lettera a Filaleti di Timauro Antiate. Secondo Dati, Galileo avrebbe studiato questa curva di cui egli stesso avrebbe avuto l'idea intorno al 1590.

In una lettera inviata da Bonaventura Cavalieri a Galileo il 14 febbraio 1640, Cavalieri scrive:

"Mi sono stati mandati da Parigi  2  quesiti da quei matematici (J.F. Niceron) circa dei quali temo di farmi poco onore." Fra i quesiti, alcuni si riferiscono alla cicloide.

La risposta di Galileo, del 24 febbraio 1640, chiarisce alcuni punti:

"Dei quesiti mandatigli di Francia non so che sia stato dimostrato alcuno. Gli ho con lei per difficili molto a essere sciolti. Questa linea arcuata (la cicloide), sono più di 50 anni che mi venne in mente di descriverla [...] per adattarla agli archi di un ponte [...]. Parvemi da principio che lo spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive, ma non fu così, benchè la differenza non sia molta [...] Ebbi circa un anno fa una scrittura di un padre Mersenno mandatami da Parigi, ma scrittami in caratteri tali che tutta l'Accademia di Firenze non ne potesse intender tanto che se ne potesse trar costrutto alcuno [...] io risposi all'amico che me la mandò che facesse intendere al detto padre che mi scrivesse in caratteri più intelligibili."

Fu Torricelli, discepolo di Galileo, che riuscì a dimostrare alcuni importanti risultati sulla cicloide.

Il 23 aprile 1643 Cavalieri scrive a Torricelli e si congratula con lui per la soluzione trovata.

Scrive Cavalieri:  "Finalmente ho sentito nell'ultima sua, la misura dello spazio cicloidale con molta mia maraviglia, essendo stato sempre stimato problema di molta difficoltà, che straccò già il Galileo; ed io pure, parendomi assai difficile lo lasciai andare; ond'ella avrà non poca lode di questo, oltre le tante sue maravigliose invenzioni, che le daranno eterna fama. Non resterò poi di dirle intorno a questo, che il Galileo mi scrisse una volta d'averci applicato 40 anni fa, e che non aveva potuto trovar niente; e che s'era persuaso che il detto spazio fosse triplo del circolo suo genitore, ma che poi li pareva che non fosse precisamente, se mal non ricordo, poiché per quanto abbi cercato nelle mie scritture, non ho mai potuto tal lettera ritrovare."

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Studi sulla cicloide di Torricelli

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Studi sulla cicloide di Torricelli

La dimostrazione di Torricelli

Mi piace qui aggiungere, come appendice, la soluzione di un problema interessante che, a prima vista, sembra difficilissimo se se ne considera l'argomento e l'enunciazione. Esso tormentò e sfuggì, molti anni or sono, ai primi matematici del nostro secolo. Infatti, la dimostrazione invano cercata sfuggì dalle loro mani a causa della fallacia dell'esperienza. Appesi infatti ad una libra, costruita a mano, gli spazi materiali delle figure, non sò per quale destino, quella proporzione che in realtà é tripla, risultò sempre meno che tripla. Avvenne allora che, sospettando trattarsi di grandezze incommesurabili (come credo io) piuttosto che disperando della soluzione, la ricerca intrapesa venne da quei matematici abbandonata. Si facciano le seguenti supposizioni. Si immagini su una retta fissa AB, il circolo AC, tangente alla retta AB nel punto A. E si fissi il punto A, sulla periferia del circolo. Allora si immagini di far ruotare il circolo AC sulla retta fissa AB, con moto insieme circolare e progressivo verso B, ed in modo che, negli istanti sucessivi, tocchi sempre la linea retta AB con un suo punto, finché il punto fissato di nuovo non torni al contatto con la linea, ad esempio in B. È certo che il punto A, fisso sulla periferia del circolo rotante AC, descriverà qualche linea, dapprima ascendente a partire dalla linea sottostante AB, poi culminante verso D, e, in ultimo, prona e discendente verso il punto B. Tale linea é stata chiamata cicloide dai nostri predecessori, sopratutto da Galileo già 45 anni orsono. La retta AB é stata chiamata base della cicloide, ed il circolo AC, il generatore della cicloide. Discende dalla natura della cicloide la proprietà che la sua base AB sia eguale alla periferia del circolo generatore AC. E questo poi non é così oscuro. Infatti tutta la periferia AC, nella sua rotazione, si é commisurata con la retta fissa AB. Si chiede ora che proporzione ha lo spazio cicloidale ADB al suo circolo generatore AC. Dimostreremo (e ne siano rese grazie a Dio) che é triplo. Le dimostrazioni saranno tre, e del tutto diverse fra loro. La prima e la terza procederanno con la nuova geometria degli indivisibili, che a noi piace molto. Metre la seconda procederà con la duplice posizione, secondo il metodo degli antichi, onde soddisfare i fautori di entrambi i metodi. Del resto, io dico questo: quasi tutti i principi coi quali si dimostra qualcosa nella geometria degli indivisibili, si possono ridurre alla solita dimostrazione indiretta degli antichi. Ciò è stato da noi fatto, come in molti altri casi, anche nel primo e nel terzo dei seguenti teoremi. Tuttavia per non abusare troppo della pazienza del lettore, abbiamo ritenuto di tralasciare molte dimostrazioni e di darne soltanto tre. Ci limitiamo a dare, sempre nella traduzione di Belloni ( cfr ibidem, pp. 412-413), la prima dimostrazione fatta col metodo degli indivisibili. Teorema I Lo spazio compreso fra la cicloide e la sua retta di base é triplo del circolo generatore. Ovvero é sesquialtero (Sesquialtero = 1+1/2 N.d.R.) del triangolo, avente la sua stessa base ed altezza. Sia data la cicloide ABC, descritta dal punto C del circolo CDEF quando ruota sulla base fissa AF. Consideriamo la semicicloide ed il semicircolo soltanto per evitare troppa confusione nella figura. Dico che lo spazio ABCF é triplo del semicircolo CDEF. Ovvero sesquialtero del triangolo ACF. Si prendano due punti, H ed I, sul diametro CF, egualmente distanti dal centro G. Tracciate HB, IL e CM parallele a FA, passino per i punti B ed L i semicircoli OBP e MLN, eguali a CDF, tangenti alla base nei punti P ed N. È chiaro che le rette HD, IE, XB e QL sono eguali per la proposizione 14 del libro III. Saranno eguali anche gli archi OB e LN. Analogamente, essendo eguali CH e IF, saranno eguali CR e UA, per le proprietà delle rette parallele. Tutta la periferia MLN, per la definizione stessa della cicloide, é eguale alla retta AF. Analogamente, l'arco LN é uguale alla retta AN per la medesima ragione, poiché l'arco LN si distenderà sulla retta AN. L'arco restante LM sarà dunque eguale alla retta restante NF. Per la medesima ragione, l'arco BP sarà eguale alla retta AP, e l'arco BO alla retta PF. Ora la retta AN é uguale all'arco LN, ovvero all'arco BO, ovvero alla retta PF. Quindi, per le proprietà delle parallele, saranno eguali AT e SC. Ora poiché erano eguali anche CR e AU, le rimanenti UT e SR saranno eguali. Perciò, nei triangoli equiangoli UTQ e RSX, saranno eguali i lati omologhi UQ e XR. È chiaro, pertanto, che le due rette LU e BR, insieme prese, saranno eguali alle due rette LQ e BX, cioé alle EI e DH. E questo sarà sempre vero, ovunque si prendano i due punti H ed I, purché siano egualmente distanti dal centro. Tutte le linee della figura A L B C A saranno dunque eguali a tutte le linee del semicircolo CDEF. Perciò la figura bilineare ALBCA sarà eguale al semicircolo CDEF. Ma il triangolo ACF è duplo del semicircolo CDEF. Infatti, il triangolo ACF è reciproco del triangolo della proposizione I di Archimede della misura del circolo, essendo il lato AF eguale alla semiperiferia, ed il lato FC eguale al diametro. Di qui segue che il triangolo ACF é uguale all'intero circolo di diametro CF. Dunque, componendo, l'intero spazio cicloidale [ALBCFA] sarà sesquialtero del triangolo inscritto ACF, e triplo del semicircolo CDEF. E questo ecc.

Relazioni con la circonferenza generatrice

  • La base della cicloide è lunga come la circonferenza del cerchio generatore (Mersenne);
  • La lunghezza di un arco di cicloide è 4 volte il diametro;
  • L'area compresa fra un arco di cicloide e la base è 3 volte l'area del cerchio (tentativo sperimentale di Galileo, poi Torricelli e Roberval);

Proprietà geometriche

  • È la curva che risolve il problema della tautocrona ovvero le oscillazioni su di un arco di cicloide sono esattamente isocrone (e non solo approssimativamente come in un pendolo semplice).
  • Risolve il problema della brachistocrona ovvero la curva su cui una massa che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati è un arco di cicloide.
  • L'evoluta e l'involuta della cicloide sono a loro volta due cicloidi identiche.

Le equazioni della cicloide in forma parametrica

Le coordinate del punto B che descrivono la traiettoria della cicloide, possono essere ottenute componendo due moti indipendenti: 

a) il primo è un moto rettilineo uniforme della circonferenza generatrice sull'asse x;

b) il secondo è un moto circolare uniforme di B intorno al centro O della circonferenza;

Chiamando con  \theta il parametro, si ha:

 \left\{\begin{array}{rl}x =r(\theta + sin\theta)\\y=r(1+cos\theta)\end{array}\right.

 

Dimostrazione della lunghezza della cicloide e dell'area sottesa (teorema di Torricelli-Roberval)

Il calcolo della lunghezza della cicloide si ottiene integrando l'elemento di linea ds =\sqrt(dx^2 + dy^2) dove i differenziali dx e dy si ottengono dalle equazioni precedenti:

 \left\{\begin{array}{ll}dx =r(1 + cos\theta)d\theta\\dy=-r sin\theta d\theta\end{array}\right.

Si ha così:

 L = 2\int_0^\pi ds(\theta)=2r\int_0^\pi \sqrt(2+2cos\theta) d\theta=4r\int_0^\pi cos\left(\theta/2\right)) d\theta=8r

 La lunghezza della cicloide è 4 volte il diametro della circonferenza generatrice

 

Passiamo ora al calcolo dell'area. Essa si ottiene integrando fra 0 e 2\pi l'elemento d'area:

dA=ydx

 A = 2\int_0^\pi dA =2r^2\int_0^\pi (1+cos\theta)^2d\theta = 3\pi r^2

 L'area sottesa dalla cicloide è 3 volte l'area del cerchio generatore

 La sfida lanciata da padre Mersenne sull'area sottesa dalla cicloide aveva incuriosito un po' tutti i matematici del tempo e tutti presero a studiarla.

Blaise Pascal 1623-1662

Un notevole contributo lo diede Pascal. Una notte, in preda ad un violento mal di denti, si ricordò della cicloide; poco dopo il dolore passò ed egli interpretò questo come un segno del cielo che gli indicava di dover riprendere gli studi sulla curva. Pascal riscoprì molte proprietà già note ed ottenne nuovi risultati. Decise infine di lanciare nuove sfide matematiche al riguardo.

Il lavoro e l'entusiasmo di Pascal servì a ravvivare l'interesse sulla cicloide.

 

 

 

 

Curva Tautocrona

Christiaan Huygens 1629-1695

In particolare C. Huygens stava studiando come migliorare il progetto dell'orologio a pendolo galileiano che, come è noto, ha il difetto per cui le oscillazioni non sono perfettamente isocrone, ma dipendono dall'ampiezza. L'isocronismo è quasi perfetto per oscillazioni a piccoli angoli con un periodo T=2\pi \sqrt(\frac{l}{g}) , mentre diventa molto impreciso a grandi angoli.

Huygens pensò di far oscillare il pendolo non lungo un arco di circonferenza, ma in mezzo a due archi (ganasce) cicloidali ottenendo teoricamente il pendolo perfetto con un periodo del tutto indipendente dall'ampiezza di oscillazione. Purtroppo gli attriti di questo sistema lo resero praticamente inutilizzabile. Questa particolare proprietà della cicloide deriva dal fatto che l'evolvente di una cicloide è ancora una cicloide. L'evolvente di una curva si ottiene prendendo un segmento con un estremo A sulla curva e tangente alla curva  stessa e, mantenendo fisso A,  adagiando il segmento lungo la curva. Di seguito c'è un'animazione con Geogebra che permette di verificare quanto detto.

Evolvente della  cicloide

Legato al concetto di evolvente c'è l'evoluta di una curva che è  il luogo dei centri dei cerchi osculatori ==> Evoluta della cicloide

Pendolo Cicloideo di Huygens

Il pendolo isocrono di Huygens

Calcolo del periodo di un pendolo cicloideo

Il tempo di percorrenza di un tratto di curva ds è: dt=ds/v dove v è la velocità lungo la curva. Durante il moto del pendolo lungo la cicloide si conserva l'energia meccanica totale perchè il campo di gravità è conservativo. Se la partenza del pendolo è all'altezza y = 0 con velocità v=0 si ha: \frac{1}{2}mv^2 = mgy

Ricaviamo il tempo infinitesimo per percorrere un tratto di curva ds: dt=ds/v=r\sqrt{(2+2cos\theta)}/\sqrt{(gr(2+2cos\theta))}d\theta = \sqrt{(r/g)}d\theta

Integrando fra 0 e \pi si ha: T=4\int_0^\pi d\theta=4\int_0^\pi\sqrt{(r/g)}d\theta=4\pi \sqrt{(r/g)}.

Non è difficile dimostrare che questo tempo è indipendente dal punto di partenza del pendolo lungo la cicloide

Curva Brachistocrona 

La brachistocrona (dal greco brachistos = più breve e chronos = tempo) è la curva celerrimi descensus ossia, dati due punti A e B su un piano verticale in un campo di gravità, la brachistocrona è la traiettoria che un punto materiale dovrebbe seguire per andare da A a B nel minor tempo possibile.

Il problema lo pose Johann Bernoulli (1667-1748): "... Vi sono pochissimi in grado di risolvere problemi eccellenti, sì, pochissimi!, anche tra tanti matematici che si vantano di aver esteso meravigliosamente i loro confini mediante teoremi che (essi dicono) non erano noti ad alcuno, ma che in realtà erano stati in precedenza pubblicati da altri". E' evidente la polemica a distanza con Newton!

Presto nacque una sfida su questo problema e dopo qualche tempo arrivarono a Bernoulli 3 risposte: una di Leibniz, una di l'Hopital e l'altra anonima ma chiaramente attribuibile a Newton. Il problema fu anche risolto dal fratello Jacob ma, come al solito i due fratelli non si risparmiarono reciproche accuse di plagio.

La soluzione ovviamente è la CICLOIDE, ma la dimostrazione matematica è molto complicata.

Ipocicloidi, Epicicloidi, Trocoidi

La cicloide è un caso particolare di una famiglia di curve chiamate RULLETTE ossia di curve che rotolano su altre curve. Un caso semplice ma non banale è quello che prevede di far ruotare circonferenze su circonferenze.

Le epicicloidi sono circonferenze che rotolano esternamente a circonferenze; fra queste ricordiamo la CARDIODE e la NEFROIDE;

Le ipocicloidi sono circonferenze che rotolano internamente a circonferenze; fra queste ricordiamo la DELTDOIDE e l'ASTROIDE;

Guarda le animazioni con GEOGEBRA

Epicicloide Ipocicloide SISTEMA GEOCENTRICO
TROCOIDE EPICICLOIDEA TROCOIDE IPOCICLOIDEA